李小欢，吕月明
(哈尔滨理工大学 理学院， 哈尔滨 150080)
A-调和方程是非线性椭圆型偏微分方程的一个重要组成部分，在许多领域都有十分广泛的应用，例如物理、弹性理论、非线性分析及位势理论等。2009年，Afrouzi等定义了算子J,G,F,T[1]：
T=J+λG-F
2011年,李贯锋等由一类A-调和方程-divA(x,∇u(x))=f引出了对应的单障碍问题[2]。定义映射：K→X′为
(u,∇u)=(-f,A(x,∇u))
式中：(u,∇u)∈K，X=Lp(Ω)×Lp(Ω,n)；
X为自反的Banach空间，其对偶空间为n)。进一步通过单调算子理论证明了单障碍问题解的存在唯一性，从而得到A-调和方程弱解的存在唯一性。2019年,Kratou等在函数f适当假设下，对算子A、B进行条件限制，构造算子T=J+G-F[3]，其中J、G、F定义如下：
证明算子T是单调的、弱下半连续的和强制的，利用Browder定理给出了一类非齐次A-调和方程
弱解的存在唯一性。
基于以上研究，本文将利用单调算子理论讨论一类具有一般形式的非齐次A-调和方程divA(x,u,∇u)=B(x,u)双障碍问题弱解的存在唯一性，并在弱解存在唯一性的基础上研究弱解的梯度估计以及弱解的收敛性。目前，已有很多关于A-调和方程解的性质的研究成果，相关内容可参阅文献[4-10]。
总假定1 divA(x,u,∇u)=B(x,u) (1) 式中，算子A(x,u,∇u):Ω**n→n关于x是可测的，关于u是连续的，且算子A、B满足如下结构条件： A-调和方程的弱解概念被提出之后，为A-调和方程的理论发展奠定了基础。本文主要基于上述算子条件的非齐次A-调和方程双障碍问题弱解的存在唯一性，研究双障碍问题弱解的梯度估计以及弱解的收敛性。 设φ(x)、ψ(x)为Ω上取值于R∪{+∞}的任意函数，函数θ(x)∈W1,p(Ω)，定义双障碍集合 成立。 成立。 成立。 本节主要讨论非齐次A-调和方程弱解的存在性。这里设X=Lp(Ω)×Lp(Ω,n),则X为自反的Banach空间，其对偶空间为n)。任意取g=(g1,g2)∈X，定义 首先，证明与非齐次A-调和方程相关的双障碍问题弱解的存在性，为此引入如下的定义及引理。 定义4[12]设:K→X′为一映射，若对于任意的u,v∈K，都有 〈u-v,u-v〉≥0 〈uj,v〉→〈u,v〉 引理1[12]设K是X的一个非空闭凸子集，映射:K→X′在K上单调、强制、弱连续，则存在u∈K，对任意的v∈K，都有 〈u,v-u〉≥0 成立。 命题1K是X的一个非空闭凸子集。 证明(1) 对(u,∇u)∈K，(v,∇v)∈K，0<λ<1 ，有 λu+(1-λ)v≥λφ+(1-λ)φ=φ λu+(1-λ)v≤λψ+(1-λ)ψ=ψ 故 φ≤λu+(1-λ)v≤ψ 从而 λ(u,∇u)+(1-λ)(v,∇v)∈K 即K是凸集。 设(vi,∇vi)为K中的一个序列并且X中收敛到(v,φ)，其中φ=(φ1,…,φn)∈Lp(Ω,n),即 从而 并且 对任意的(v,∇v)∈K，定义映射：K→X′为(u,∇u)=(B(x,u),A(x,u,∇u))，从而可得 〈(u,∇u)-(v,∇v),(u,∇u)-(v,∇v)〉 =〈(B(x,u)-B(x,v),A(x,u,∇u)-A(x,v,∇v)),(u-v,∇u-∇v)〉 命题2在K上是单调的。即对于任意的(u,∇u),(v,∇v)∈K，有 〈(u,∇u)-(v,∇v),(u,∇u)-(v,∇v)〉≥0 证明 =〈(B(x,u)-B(x,v),A(x,u,∇u)-A(x,v,∇v)),(u-v,∇u-∇v)〉 命题3在K上是强制的，即存在(u,∇u)∈K，使得当‖(vi,∇vi)‖→+∞时，总有 证明固定(vj,∇vj)∈K,∀(u,∇u)∈K，有 〈(u,∇u)-(vj,∇vj),(u,∇u)-(vj,∇vj)〉 ≥c2-p(‖u-vj‖p+‖∇u-∇vj‖p)p=c1‖(vj-∇vj)-(u-∇u)‖p (2) 由式(2)可知 (3) 由式(3)可知命题得证。 命题4在K上是弱连续的。 证明设(uj,∇uj)∈K为一序列且在X中收敛到(u,∇u)∈K,只需证明(uj,∇uj)在X′中弱收敛到(u,∇u)，即对任意的(v1,v2)∈X，都有 〈(uj,∇uj)-(u,∇u),(v1,v2)〉→0 〈(uj,∇uj)-(u,∇u),∇uj)-A(x,u,∇u))v2+(B(x,uj)-B(x,φ))v1dx 已知在X中(uj,∇uj)→(u,∇u)，因此∇uj在Lp(Ω,n)中总是收敛到∇u，由此可知存在子列ujk使得∇ujk→∇u在Ω中总是几乎处处成立。由A算子的结构条件，则有 A(x,ujk,∇ujk)→A(x,u,∇u) 从而 又在Lp(Ω,n)中，∇ujk→∇u。于是在Lp(Ω)中uj→u，则A(x,uj,∇uj)在n)中总是一致有界的。根据定义3，A(x,uj,∇uj)在n)中弱收敛到A(x,u,∇u)。 〈(uj,∇uj)-〈(u,∇u),(v1,v2)〉 定理1由引理1可知，存在(u,∇u)∈K，使得对任意的(v,∇v)∈K，都有 〈(u,∇u),((v,∇v)-(u,∇u))〉≥0 成立。 为证明弱解的存在唯一性，给出如下比较引理。 又因为v∈W1,p(Ω)是方程(1)的一个上解，故 结合上式，令min(u,v)=h， 根据引理2可知u-h=0，因此u=h=min(u,v)≤va.e.于Ω。故u≤va.e.于Ω。 v-θ=(1-ηp)u+ηpw-θ=(1-ηp)(u-θ)+ηp(w-θ) 因为 ∇(v-u)=∇((w-u)ηp)=(∇w-∇u)ηp+p(w-u)ηp-1∇η 从而有 ≜I1+I2+I3+I4 首先， (4) 估计I1，由函数w的定义可知，|w|≤|φ|+|ψ|,|∇w|≤|∇φ|+|∇ψ|，借助于Young不等式，则有 式中c5=c5(τ1，τ2，τ3，c1)。 下面估计I2，根据函数w的定义、条件(A1)以及Young不等式，有 式中c6=c6(τ4，τ5，τ6，c1)。 下面估计I3，根据函数η的定义、条件(A1)以及Young不等式，有 式中c7=c7(τ7，τ8，τ9，c1,C)。 下面估计I4，根据函数w的定义、条件(B1)以及Young不等式，可得 式中c8=c8(τ10，τ11，c3)。 结合式(4)与上述I1、I2、I3、I4的估计可得 式中：c9=c9(τ2,τ5，τ10，τ12，c1，c3，p,R)； 选择合适的τ1、τ6、τ7，使得c1τ1+c1pτ6+c1pτ7远小于1，于是可得 定理证毕。 为证明双障碍问题弱解的收敛性，给出如下引理。 引理4[2]设xi≥0为n中的一个点列，存在正常数M1>0与M2>0且0 证明已知 根据算子A、B的结构条件及Hölder不等式，可得 于是 其中 因为 =H1+H2 其中 下面估计H1和H2。 因为∇φi在Lp(Ω)中收敛到∇φ， 因为 所以 即有
c10=c10(c5，c8，p,R,C)。
